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最近公共祖先(LCA)的三种求解方法

简述

LCA(Least Common Ancestors),即最近公共祖先,是指这样一个问题:在有根树中,找出某两个结点 u 和 v 最近的公共祖先(另一种说法,离树根最远的公共祖先)。

算法

RMQ_ST 在线算法

简介

RMQ(Range Minimum/Maximum Query), 即区间最值查询, 是指这样一个问题: 对于长度为 n 的数列 A,回答若干询问 RMQ(A, i, j)(i, j <= n), 返回数列A中下标在i,j之间的最小/大值。所谓在线算法,是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理,待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在 O(nlogn) 时间内进行预处理,然后在 O(1) 时间内回答每个查询

算法过程

首先是预处理,用动态规划(DP)解决。设 A[i] 是要求区间最值的数列, dp[i, j] 表示从第 i 个数起连续 2^j 个数中的最大值。例如数列 3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,dp[1,0] 表示第 1 个数起,长度为 2 ^ 0 = 1 的最大值,其实就是 3 这个数。 dp[1, 2] = 5, dp[1, 3] = 8, dp[2, 0] = 2 , dp[2, 1] = 4 ……从这里可以看出 dp[i, 0] 其实就等于 A[i] 。这样,DP 的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把 dp[i, j] 平均分成两段(因为 dp[i, j] 一定是偶数个数字), 从 i 到$ i + 2 ^{j - 1} - 1 $为一段,$i + 2 ^{j - 1}$ 到 $i + 2 ^{j} - 1$ 为一段(长度都为 $2 ^{j - 1}$) 。用上例说明,当 i = 1,j = 3 时就是 3,2,4,5 和 6,8,1,2 这两段。dp[i,j] 就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程$$dp[i,j]=max(dp[i,j-1],dp[i+2^{j-1},j-1]) $$ 然后是查询。取 $k = [log2(r - l + 1)]$ ,则有$$RMQ(A,l,r)=min(dp[l,k],dp[r-2k+1,k])$$ 举例说明,要求区间 [2,8] 的最大值,就要把它分成 [2, 5] 和 [5, 8] 两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由 dp[2, 2] 和 dp[5, 2] 得到。

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#include <cstdio>
const int MAXN = 100010;
int n, q;
int num[MAXN];
int dp[MAXN][20];
void ST(){
for(int i = 1; i <= n; i++)
dp[i][0] = num[i];
for(int j = 1; j < 20; j++)
for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
int RMQ(int l, int r){
if(l > r) return 0;
int k = log((double)(r - l + 1)) / log(2.0);
return max(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main(){
while(scanf("%d%d", &amp;n, &amp;q) != EOF){
for(int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &amp;num[i]);
ST();
int l, r;
for(int i = 1; i <= q; i ++){
scanf("%d%d", &amp;l, &amp;r);
printf("%d\n", RMQ(l, r));
}
}
return 0;
}

利用 RMQ_ST 算法求解 LCA 问题

思想是: 将树看成一个无向图,u 和 v 的公共祖先一定在 u 与 v 之间的最短路径上:

  1. DFS: 从树 T 的根开始, 进行深度优先遍历(将树 T 看成一个无向图), 并记录下每次到达的顶点, 以及这个点的深度, 第一个的结点是 root(T), 每经过一条边都记录它的端点。由于每条边恰好经过 2 次,因此一共记录了 2n - 1 个结点,用 dfn[1, … , 2n-1] 来表示。
  2. 计算first: 用 first[i] 表示 dfn 数组中第一个值为 i 的元素下标,即如果 first[u] < first[v] 时,DFS 访问的顺序是 $dfn[first[u], first[u]+1, … , first[v]]$。虽然其中包含 u 的后代,但深度最小的还是 u 与 v 的公共祖先。
  3. RMQ: 当 $first[u] >= first[v]$ 时,$LCA[T, u, v] = RMQ(L, first[v], first[u]);$ 否则 $LCA[T, u, v] = RMQ(L, first[u], first[v])$, 计算 RMQ。
    由于 RMQ 中使用的ST算法是在线算法,所以这个算法也是在线算法。

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int pcnt = 0;               // 用来计算遍历序
int first[MAXN];
int dfn[2 * MAXN]; // 注意数组大小
int deepth[2 * MAXN];
int dp[2 * MAXN][20];
void dfs(int u, int fa, int dep){
dfn[++pcnt] = u;
first[u] = pcnt;
deepth[pcnt] = dep;
for(int i = head[u]; i + 1; i = edge[i].nxt){
int v = edge[i].v;
if(v == fa) continue;
dfs(v, u, dep + 1);
dfn[++pcnt] = u;
deepth[pcnt] = dep;
}
}
void ST(){
for(int i = 1; i <= pcnt; i++)
dp[i][0] = i;
for(int j = 1; j < 20; j++)
for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= pcnt; i++){
int a = dp[i][j - 1], b = dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
if(deepth[a] < deepth[b]) dp[i][j] = a;
else dp[i][j] = b;
}
}
int RMQ(int l, int r){
int k = log((double)(r - l + 1)) / log(2.0);
int a = dp[l][k], b = dp[r - (1 << k) + 1][k];
if(deepth[a] < deepth[b]) return a;
else return b;
}
int LCA(int L, int R){
int l = first[L];
int r = first[R];
if(l > r) swap(l, r);
int pos = RMQ(l, r);
return dfn[pos];
}

离线 TarJan 算法

简述

Tarjan算法(以发现者Robert Tarjan命名)是一个在图中寻找强连通分量的算法。算法的基本思想为:任选一结点开始进行深度优先搜索dfs(若深度优先搜索结束后仍有未访问的结点,则再从中任选一点再次进行)。搜索过程中已访问的结点不再访问。搜索树的若干子树构成了图的强连通分量。
应用到要解决的LCA问题上,则是:对于新搜索到的一个结点 u, 先创建由 u 构成的集合,再对 u 的每颗子树进行搜索,每搜索完一棵子树,这时候子树中所有的结点的最近公共祖先就是 u 了。

算法思想

Tarjan算法基于dfs的框架,对于新搜到的一个结点,首先创建由这个结点构成的集合,再对当前结点的每个子树进行搜索;
每搜索完一棵子树,则可确定子树内的LCA询问都已解决,其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外;
这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合并,并将当前结点设为这个集合的祖先;
之后继续搜索下一棵子树,直到当前结点的所有子树搜完;
这时把当前结点也设为已被检查过的,同时可以处理有关当前结点的LCA询问;
如果有一个从当前结点到结点v的询问,且v已经被检查过;
则由于进行的是dfs,当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查;
而这个最近公共祖先的包含v的子树一定已经搜索过了,那么这个最近公共祖先一定是v所在集合的祖先;

算法步骤

对于每一个结点:

  1. 建立以u为代表元素的集合;
  2. 遍历与u相连的结点v,如果没有被访问过,对于v使用Tarjan_LCA算法,结束后将v的集合并入u的集合;
  3. 对于与u有关的询问(u,v),如果v被访问过,则结果就是v所在集合的代表元素;

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const int MAXN = 300100;
struct Edge{
int v, nxt;
int id;
};
bool vis[MAXN];
int n, q, ecnt, qcnt;
Edge tedge[MAXN * 2], qedge[MAXN * 2];
int thead[MAXN], qhead[MAXN], res[MAXN], par[MAXN];
void init(){
ecnt = qcnt = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(tedge, 0, sizeof(tedge));
memset(qedge, 0, sizeof(qedge));
memset(thead, -1, sizeof(thead));
memset(qhead, -1, sizeof(qhead));
}
void addEdge(int *head, Edge *edge, int &amp;cnt, int u, int v, int id){
edge[cnt].v = v;
edge[cnt].id = id;
edge[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt++;
}
int Find(int x){
if(par[x] != x) return par[x] = Find(par[x]);
return par[x];
}
void Union(int u, int v){
int fu = Find(u);
int fv = Find(v);
par[fu] = fv;
}
void Tarjan(int u){
par[u] = u;
vis[u] = true;
for(int i = thead[u]; i + 1; i = tedge[i].nxt){
int v = tedge[i].v;
if(vis[v]) continue;
Tarjan(v);
Union(v, u);
}
for(int i = qhead[u]; i + 1; i = qedge[i].nxt){
int v = qedge[i].v;
int id = qedge[i].id;
if(!vis[v]) continue;
res[id] = Find(v);
}
}

(拓展)运用Tarjan算法求图上两点间最大边

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const int MAXN = 50050;
struct Edge{
int v, nxt;
int index;
};
bool vis[MAXN];
int Min[MAXN], Max[MAXN];
int ecnt, qcnt, acnt, n, q;
int uu[MAXN], vv[MAXN], val[MAXN];
Edge tedge[2 * MAXN], qedge[2 * MAXN], aedge[2 * MAXN];
int thead[MAXN], qhead[MAXN], ahead[MAXN], par[MAXN], res[MAXN];
void init(){
ecnt = qcnt = acnt = 0;
memset(res, 0, sizeof(res));
memset(val, 0, sizeof(val));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(tedge, 0, sizeof(tedge));
memset(qedge, 0, sizeof(qedge));
memset(aedge, 0, sizeof(aedge));
memset(thead, -1, sizeof(thead));
memset(qhead, -1, sizeof(qhead));
memset(ahead, -1, sizeof(ahead));
}
void addEdge(int *head, Edge *edge, int u, int v, int index, int &amp;cnt){
edge[cnt].v = v;
edge[cnt].index = index;
edge[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt++;
}
int Find(int x){
if(x == par[x]) return par[x];
int temp = par[x];
par[x] = Find(par[x]);
Max[x] = max(Max[x], Max[temp]);
Min[x] = min(Min[x], Min[temp]);
return par[x];
}
void Tarjan(int u){
vis[u] = true;
par[u] = u;
for(int i = qhead[u]; i + 1; i = qedge[i].nxt){
int v = qedge[i].v, index = qedge[i].index;
if(!vis[v]) continue;
int lca = Find(v);
addEdge(ahead, aedge, lca, v, index, acnt);
}
for(int i = thead[u]; i + 1; i = tedge[i].nxt){
int v = tedge[i].v;
if(vis[v]) continue;
Tarjan(v);
par[v] = u;
}
for(int i = ahead[u]; i + 1; i = aedge[i].nxt){
int index = aedge[i].index;
Find(uu[index]);
Find(vv[index]);
res[index] = max(Max[
res[index] = max(max(Up[uu[index]], Down[vv[index]]), Max[vv[index]] - Min[uu[index]]);
}
}

倍增 LCA

简介

倍增法LCA也是一个求最近公共祖先的在线算法,他利用了二分搜索的思想降低每次寻找最近公共祖先的复杂度,预处理的复杂度为 O(nlog(n)), 每次查询的复杂度为 O(log(n))。

算法流程

  1. 初始化所有点的深度和第 2^0, 2^1, 2^2, … 2^n 个祖先;
  2. 从深度大的节点上升至深度小的节点同层,如果此时两节点相同直接返回此节点,即lca,否则,利用倍增法找到最小深度的p[a][j]!=p[b][j],此时他们的父亲p[a][0]即lca。

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const int MAXN = 300010;
const int DEG = 20;

struct Edge{
int v, nxt;
};

int ecnt, n, m;
Edge edge[MAXN * 2];
int fa[MAXN][20];
int head[MAXN], depth[MAXN];

void init(){
ecnt = 0;
memset(edge, 0, sizeof(edge));
memset(head, -1, sizeof(head));
memset(depth, 0, sizeof(depth));
}

void addEdge(int u, int v){
edge[ecnt].v = v;
edge[ecnt].nxt = head[u];
head[u] = ecnt++;
}

void initfa(int root){
queue <int> que;
que.push(root);
depth[root] = 0;
fa[root][0] = root;
while(!que.empty()){
int u = que.front();
que.pop();

for(int i = 1; i < DEG; i++)
fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];

for(int i = head[u]; i + 1; i = edge[i].nxt){
int v = edge[i].v;
if(v == fa[u][0]) continue;
depth[v] = depth[u] + 1;
fa[v][0] = u;
que.push(v);
}
}
}

int LCA(int u, int v){
if(depth[u] > depth[v]) swap(u, v);
int du = depth[u], dv = depth[v];
int tu = u, tv = v;
for(int det = dv - du, i = 0; det; det >>= 1, i++)
if(det &amp; 1) tv = fa[tv][i];
if(tu == tv) return tu;
for(int i = DEG - 1; i >= 0; i--){
if(fa[tu][i] == fa[tv][i]) continue;
tu = fa[tu][i];
tv = fa[tv][i];
}
return fa[tu][0];
}